Ejercicios 7.1
7.1.1
Encuentre la antiderivada de 
.
Resolución:
7.1.1 Encuentre la antiderivada de
.
Resolución:
7.1.2 Resuelva la integral
indefinida 
.
Resolución:
.Resolución:
.Resolución:
Sea u=3x2+1,
luego du/dx=6x de donde dx=du/6x y sustituyendo en la integral
resulta: 
.Resolución:
Sea u=1-3cosx;
luego du/dx=3senx, de donde dx=du/3senx. Sustituyendo resulta: 
.Resolución:
Sea u=4x3-5, luego du/dx=12x2
de donde dx=du/12x2
sustituyendo resulta: 
7.1.7 Aproxima mediante sumas el
valor de 
.
Resolución:
Considere h=(b-a)/10=0.1
para aproximar la integral mediante 10 barras de igual ancho, luego 
, porque se tomó xi
como el extremo izquierdo del intervalo se tiene:
f(1)+f(1.1)+f(1.2)+...+f(1.9)=(1-1)+(1.12-1)+(1.22-1)+...+(1.92-1)=11.85,
si se hubiera partido en 100 en lugar de 10 y calculando en Excel se obtiene: 1.31835, que es una mejor aproximación.
7.1.8 Calcula el valor de ln9 aproximadamente.
Resolución:
Como 
, considerando h=0.01
y calculando la suma en Excel para 
7.1.9 Empleando 
aproxima el valor de 
.
Resolución:
Como tan-1(1)=π/4 ( esto es 45º)
y tan-1(0)=0, haciendo a=1 se tiene 
de donde 
que como se observa
aún requiere valores menores de h
para que la aproximación sea más justa.
Resolución:
Resolución:
Con u=sen2x
se tiene du/dx=2cos2x de donde,
modificar los límites de integración de manera adecuada se tiene:
Resolución:
7.1.13
Calcule el promedio de f(x)=sen(x) en [0,π]. En que lugar se presenta ese promedio.
Resolución:
Los valores en que ocurre corresponden con
senx=2/π o bien x=sen-1(2/π)= ±0.690107, (que corresponde
con 30.54º y -30.54º).
7.1.14
Calcule el promedio de g(x)=(x–1)2, en el intervalo [1,4].
Resolución:
Se tiene 
7.1.15
Calcule el área bajo la curva f(x)=ex, en [1,2].
Resolución:
El área corresponde con 
.
El área está dada en unidades cuadradas , que no se
indicaron desde el inicio.
7.1.16
Calcule el área
entre f(x)=x3 y el
eje x en el intervalo [–3,3].
Resolución:
La función es impar y cruza el eje en el origen,
luego el área se compone de dos segmentos uno positivo y uno negativo, lo
solicitado es:
Desde luego el área está dada en unidades cuadradas
pero no se indicaron desde el enunciado.
7.1.17
Encuentre el área entre la curva 
y el eje x en [–π/2,0].
Resolución:
Obsérvese la gráfica para la que se ve que f(-π/2)=f(0) y no hay más ceros, luego
el área solicitada es:
(unidades cuadradas).
7.1.18
Encuentre el área de la región limitada por las
curvas 4x2+y=4 y x4–y=1.
Resolución:
Al resolver simultáneamente las ecuaciones presentadas
se localizan los puntos de intersección, así si se suman ambas se obtiene x4+4x2-5=0, que es
una bicuadrática con solución en x2=-5
y x2=1, de donde el único caso viable es x=-1, x=1. Adicionalmente x4+1<4-4x2
en (-1,1) de donde:
(unidades cuadradas)
7.1.19
Encuentre el área limitada por el eje y las curvas x=(y–1)2, y=3–x, y 
.
Resolución:
La región se ve limitada de la siguiente forma:
En donde las coordenadas de las intersecciones son: 
con el eje y (0,1), ésta con la recta 
o bien (1,2); y=x2/4 con el origen (0,0)
y finalmente entre esta parábola y la recta x2/4=3-x;
x2+4x-12=(x+6)(x-2)=0, en
donde es útil x=2; y el punto de
intersección es (2,1). Por el tipo de superficie generada es
necesario trazar la recta auxiliar x=1,
de donde se obtiene:
(unidades cuadradas).
7.1.20
Sobre la parábola x=y2, se construye un sólido cuya sección es un rectángulo
con base sobre la parábola y su altura es igual la mitad de su ancho. ¿cuál
será el volumen del sólido? Si se limita por el plano x=5.
Resolución:
Aplicando el método de rebanadas se tiene, que una
de estas rebanadas tiene el siguiente volumen: dV=(ancho de rectángulo)(alto del rectángulo)(espesor de la
rebanada)=(2y)(y)dx=2y2dx=2xdx; luego el volumen solicitado es:
(unidades cúbicas,
aunque no se indicaron desde el enunciado).
7.1.21
La base de un sólido es la región entre la curva 
en el intervalo [0,π] en el eje x. Si la sección perpendicular al plano xy son triángulos equiláteros cuya base
va del eje x a la curva, ¿cuál es el
volumen del sólido?
Resolución:
Visto por arriba el sólido tiene el siguiente
aspecto, en donde la línea café es un triangulo equilátero con base y vértice sobre a
línea roja que identifica la arista generada por todos los vértices de los
triángulos, un triángulo característico se muestra en la figura.
Con los datos previos se tiene dV=(área de la rebanada)(espesor de la rebanada)=[y(ysen60º)/2]dx e
integrando.
(unidades cúbicas)
7.1.22
Un sólido se forma al hacer girar alrededor del eje y la hipérbola x=2/y limitada por las rectas y=2
e y=5. Calcula el volumen del sólido.
Resolución:
Al observar la figura, se ve que se puede trazar el
rectángulo diferencial indicado, de donde:
dV=(área del disco)(espesor del
disco)=(πx2)dy=(4π/y2)dy, y:
(unidades cúbicas).
7.1.23
Si la parábola f(x)=x2+1,
se hace girar sobre el eje x,
limitada por las rectas x=-1 y x=1. ¿cuál será el volumen del sólido?
Resolución:
En la figura se observa como se forma un disco con
el rectángulo señalado, para el cual dV=(área
del disco)(espesor)=(πy2)dx=π(x2+1)2dx.
De donde al ser una función par:
, (unidades cúbicas).
7.1.24
La región limitada por la recta y=x y la parábola y=x2.
Se hace girar sobre el eje x. ¿Cuál
es el volumen limitado por el sólido?
Resolución:
Considere la figura, en la que al girar se forma una
arandela, cuyo volumen diferencial será: dV=(área
del disco mayor – área del disco menor)(espesor)= (πx2– πx4)dx. Como las curvas se intersecan en el punto (1,1)Así: 
(unidades cúbicas).
7.1.25
La región limitada por las curvas y=x2 y y=-x4 y la recta x=1,
se hace girar sobre el eje y. ¿cuál es el volumen del sólido generado?
Resolución:
Al considerar el área diferencial mostrada en la
figura y girarla sobre el eje y se forma un tubo que se puede extender como una
lámina, las dimensiones de esta lámina son dV=(alto
de la lámina)(largo de la lámina) espesor = (x2+x4)(2πx)dx.
De donde integrando se obtiene: 
(unidades cúbicas).
7.1.26
Calcule la longitud de la curva y=(x2+2)3/2/3 desde x=0 hasta x=4.
Resolución:
Derivando se tiene 
, luego se tiene: 
7.1.27
Se hace girar la curva 
sobre el eje x.
¿Calcular el área de la superficie generada.
Resolución:
Se tiene 
, luego: 
(unidades cuadradas).
7.1.28
Calcula el
centro de masa del área entre la curva de f(x)=9-x2
y el eje x.
Resolución:
Para el área infinitesimal indicada se cumple:
, y 
.
Finalmente
, las coordenadas del centro de gravedad son (0,3.6).
7.1.29
Calcule el
centroide de la región limitada por un cuarto de círculo.
Resolución:
Considere el área diferencial mostrada, la cual está
limitada a la derecha por el círculo x2+y2=R2. A=πR2/4 e: 
Ahora 
, por simetría de la figura 
.
