Concepto 5: Aplicaciones de la integral.

Matemáticas II: Cálculo Integral

M. C. Carlos García Franchini y M. C. Martha Alvarado Arellano

cgfranchini@yahoo.com maraare@yahoo.com

Instituto Tecnológico de Puebla

Concepto 5: Aplicaciones de la Integral

Sección T-CI5-100

T-CI5-101: Área bajo la curva

Definición: Sea una función continua tal que f(x)≥0 en [a,b], el área bajo la curva es:

Si en el intervalo [c,d], f(x)≤0, el área entre el eje x y la curva será :

T-CI5-102: Área entre curvas

Sea el intervalo [a,b] para el cual f(x) y g(x) son continuas y f(x)≥g(x), sea K la región limitada por las rectas x = a, x = b, f(x) y g(x). Luego el área de K es:

T-CI5-103: Volúmenes de sección conocida

Definición: El volumen de un sólido con área transversal conocida e integrable A(x) desde x = a hasta x = b, es:

Comúnmente a esta integración se le denomina “método de las rebanadas”.

T-CI5-104: Sólidos de Revolución

Definición informal: Si una gráfica de una función continua f(x) en el intervalo [a,b] se hace girar sobre el eje x, a la superficie bajo la curva se le denomina “área generatriz”, a la superficie delimitada por f(x) al girar se le llama “superficie de revolución” y al volumen delimitado por la superficie de revolución se le llama “sólido de revolución”. La rotación no necesariamente se debe de efectuar sobre el eje x, pero sin pérdida de generalidad el eje siempre se puede ubicar en esa posición.

T-CI5-104-1: Volumen de un sólido de revolución (método de los discos):

El volumen de un sólido generado alrededor del eje x la región bajo la curva de f(x) en el intervalo [a,b] en que f(x) es continua es:

El “disco” señalado en azul en la figura tiene radio f(x) de ahí empleando el área del círculo se obtiene la expresión previa.

Si el volumen se genera por una superficie entre curvas, se generaliza el método de los discos y se le denomina método de las arandelas , en este caso si f(x)≥g(x) en [a,b] limitan la superficie, se tiene:

T-CI5-104-2: Volumen de un sólido de revolución (método de lo tubos o casquillos cilíndricos):

El sólido de revolución generado por una función f(x) que gira alrededor del eje y, limitado por las rectas x = a y x = b, el eje x y la gráfica de f(x), tiene un volumen:

En la figura se observa –en azul– un tubo típico de radio x, espesor dx y altura f(x), que puede ser convertido en una lámina rectangular de superficie 2πxf(x) y espesor dx.

T-CI5-105: Longitud de curvas planas

La longitud de una curva plana se puede aproximar al sumar pequeños segmentos de recta que se ajusten a la curva, esta aproximación será más ajustada entre más segmentos sean y a la vez sean lo más pequeño posible.

Definición: Si la primera derivada de una función es continua en [a,b] se dice que es suave y su gráfica es una curva suave.

Cuando la curva es suave, la longitud de cada pequeño segmentos de recta se puede calcular mediante el teorema de Pitágoras y (dL)²=(dx)²+(dy)², de tal forma que sumando todos los diferenciales resulta:

Definición: Si f es suave en [a,b], la longitud de la curva de f(x) desde a hasta b es:

T-CI5-106: Área de una superficie de revolución

Partiendo de la longitud del arco y el método de tubos de altura diferencial dL se tiene:

Definición: Si la función f(x)≥0 es suave en [a,b], el área de la superficie generada al girar la curva de f(x) alrededor del eje x es:

Definición: Si la función g(y)≥0 es suave en [c,d], el área de la superficie generada al girar la curva de g(y) alrededor del eje y es:

T-CI5-107: Centro de masa de figuras planas

Cuando una placa sólida es de espesor constante y homogénea, su masa es directamente proporcional a su área, en donde la proporcionalidad depende del espesor de la placa y la densidad del material.

Definición: Las coordenadas del centro de masa de una placa plana delimitada por la superficie A, se definen como:

En donde la A bajo las integrales implica que éstas se realizan para toda la superficie, y_m y x_m corresponde con el punto medio del elemento dA.

Cuando A está delimitada por f(x) y g(x), y f(x)>g(x) en [a,b]: