Matemáticas II: Cálculo Integral

M. C. Carlos García Franchini y M. C. Martha Alvarado Arellano

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Instituto Tecnológico de Puebla

Matemáticas II: Cálculo Integral © 2005

Concepto 3: Métodos de Integración

Teoría T-CI3-300

T-CI3-301: Integración trigonométrica

Una integral se denomina trigonométrica cuando el integrando de la misma está compuesto de funciones trigonométricas y constantes. Para su resolución –desde luego que son válidos los teoremas de integración–, pero sobre todo se deben tener siempre presentes los T5.11 a T5.16.

T5.11 (senu)’=cosu u’

T5.12 (cosu)’= –senu u’

T5.13 (tanu)’= sec²u u’

T5.14 (ctgu)’= –csc²u u’

T5.15 (secu)’= secu tanu u’

T5.16 (cscu)’= -cscu ctgu u’

En lo general después de aplicar las diferentes sugerencias dadas en la teoría T-CI3-100, pero muy en especial:

i. Usar una identidad trigonométrica y simplificar, es útil cuando se presentan funciones trigonométricas.

ii. Eliminar una raíz cuadrada, se presenta normalmente después de completar un cuadrado o una sustitución trigonométrica.

iii. Reducir una fracción impropia.

iv. Separar los elementos del numerador de una fracción entre el denominador de la fracción.

v. Multiplicar por una forma unitaria g(x)/g(x) que al multiplicar por el integrando f(x) permita modificar adecuadamente [f(x)g(x)]/g(x).

vi. Probar sustituir f(x) por 1/(1/f(x)).

Es necesario tener siempre a la mano una tabla de “identidades trigonométricas y sustituyendo adecuadamente, llegarás a las “fórmulas básicas”.

En especial cuando además de los términos trigonométricos existen factores polinómicos o exponenciales, lo más seguro es que la integral propuesta deba ser resuelta por partes.

Algunas de las identidades trigonométricas que te pueden ser útiles son:

Tabla CI3-300: Identidades trigonométricas útiles
Identidades fundamentales	Del teorema de pitágoras	Translaciones
1. cscx=1/senx	7. sen^2x+cos^2x=1	10. sen(-x)=–senx
2 . secx=1/cosx	8. 1+tan^2x=sec^2x	11. cos(-x)=cosx
3. tanx=senx/cosx	9 . 1+ctg^2x=csc^2x	12. tan(-x)=-tan(x)
4. ctgx=cosx/senx	Sumas y restas de ángulos	13. sen (π/2 –x)=cosx
5. tanx=1/ctgx	18. sen(x+y)=senxcosy+cosxseny	14. cos(π/2 –x)=senx 15. tan(π/2 –x)=ctgx
6. ctgx=1/tanx	19. sen(x–y)=senxcosy–cosxseny	Múltiplos de ángulos
Ley de senos	20. cos(x+y)=cosxcosy–senxseny	24. sen2x=2senxcosx
16. senA/a=senB/b=senC/c	21. cos(x–y)=cosxcosy+senxseny	25. cos2x=cos^2x-sen^2x 26. cos2x=2cos^2x-1 27. cos2x=1-2sen^2x
Ley del coseno	22. tan(x+y)=(tanx+tany)/(1–tanxtany)	28. tan2x=stanx/(1-tan^2x)
17. c^2=a^2+b^2-2abcosC	23. tan(x–y)=(tanx–tany)/(1+tanxtany)	29. sen^2x=(1-cos2x)/2 30. cos^2x=(1+cos2x)/2

Ejercicios CI3-300

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