Concepto 3 Métodos de Integración: Antiderivadas

Matemáticas II: Cálculo Integral

M. C. Carlos García Franchini y M. C. Martha Alvarado Arellano

cgfranchini@yahoo.com maraare@yahoo.com

Instituto Tecnológico de Puebla

Concepto 3: Métodos de Integración

Teoría T-CI3-100

T-CI3-101: Antiderivadas

Del T5.7 mejor conocido como regla de la cadena se desprende la técnica de integración denominada Integración por sustitución que implica:

T7.17

Sin embargo resolver una integral no siempre es posible empleando los teoremas básicos o el teorema de sustitución. Cuando esto ocurre se dispone de diferentes técnicas para resolver integrales cuya aplicación depende específicamente de la estructura de la integral por resolver.

T-CI3-102: Integración por sustitución directa

Para hacer coincidir una estructura con las formulas básicas es necesario seleccionar adecuadamente a los elementos u, du, a y n; de acuerdo a la estructura elegida. Por motivo de la propia simplificación algunos elementos algebraicos desaparecen o se visualizan de manera aparentemente diferente, para ello se deben emplear algunos procedimientos prácticos que permitan recobrar los elementos perdidos para completar adecuadamente la estructura elegida. Dentro de estos procedimientos se sugiere probar:

i. Simplificar algebraicamente el integrando.

ii. Separar el integrando en sumandos y separar las integrales.

iii. Hacer una sustitución directa para simplificar, se ve directamente u y du.

iv. Completar los cuadrados para lograr cubrir formas u²+a², u²–a² o (u–a)².

v. Usar una identidad trigonométrica y simplificar, es útil cuando se presentan funciones trigonométricas.

vi. Eliminar una raíz cuadrada, se presenta normalmente después de completar un cuadrado o una sustitución trigonométrica.

vii. Reducir una fracción impropia.

viii. Separar los elementos del numerador de una fracción entre el denominador de la fracción.

ix. Multiplicar por una forma unitaria g(x)/g(x) que al multiplicar por el integrando f(x) permita modificar adecuadamente [f(x)g(x)]/g(x).

x. Probar sustituir f(x) por 1/(1/f(x)).

El procedimiento resulta adecuado si después de la sustitución u, du la estructura de la integral es idéntica a los teoremas básicos y se aplica directamente la antiderivación.

Estas sugerencias son válidas para todas las técnicas de integración.

Ejercicios CI3-100