Concepto 2: Integral Indefinida

Matemáticas II: Cálculo Integral

M. C. Carlos García Franchini y M. C. Martha Alvarado Arellano

cgfranchini@yahoo.com maraare@yahoo.com

Instituto Tecnológico de Puebla

Concepto 2: Integral Indefinida

Teoría T-CI2-100

Hasta ahora con el conocimiento sobre la derivada se ha podido observar lo que ocurre con las pequeñas variaciones y la sensibilidad a esos cambios. Sin embargo, en muchos fenómenos esas pequeñas variaciones se acumulan. ¿es posible calcular esa acumulación? El objeto de esta sección es darte elementos para ese cómputo.

T-CI2-101: Antiderivadas

Definición: Una función F(x) es la antiderivada de f(x) si F’(x) = f(x) para todas las x en el dominio de f. El conjunto de todas las antiderivadas de f(x) se de f se designa como la integral indefinida de f respecto de x y se escribe .

El símbolo empleado originalmente fue una “S” alargada indicando que la referencia es a una “suma” y se denomina “signo de integral”. La función f(x) es el integrando de la integral y x es la variable de integración. En realidad los símbolos son uno solo e identifican la acción latente de integrar. Cuando la integral se “resuelve” ambos símbolos desaparecen dando paso a la integral indefinida F(x) + c. La naturaleza de c que diferencia a cada una de las antiderivadas de f(x) se denomina constante de integración y proviene del hecho de que T5.1 (c)’ = 0 y (F(x)+c)’ = F’(x). De esta manera la resolución de la integral indefinida arroja:

Como F(x) + c identifica una familia de curvas paralelas, la localización del valor adecuado de c en una situación particular, dependerá de la ubicación de un punto conocido de la curva, normalmente a esto se le llaman “condiciones iniciales” y dado el punto (x₀,y₀) se podrá calcular c simplemente de: y₀= F(x₀) + c.

Con estos elementos los teoremas de derivadas adquieren una visión diferente y permiten enunciar:

*Integral indefinida*	*Teorema de derivación:*
T7.1 , n racional.	T5.2 (xⁿ)’=nx^n-1 de donde
T7.2,	De T7.1 si n=0.
T7.3	T5.3 (cu)’=cu’
T7.4	T5.4 (u+v)’=u´+v’
T7.5 , n racional.	T5.8 (uⁿ)’=un^n-1u’generalización de T7.1
T7.6	T5.9 (lnu)’=u’/u
T7.7	T5.10 (e^u)’=e^uu’
T7.8	T5.11 (senu)’=cosu u’
T7.9	T5.12 (cosu)’= –senu u’
T7.10	T5.13 (tanu)’= sec²u u
T7.11	T5.15 (secu)’= secu tanu u’
T7.12	T5.14 (ctgu)’= –csc²u u’
T7.13	T5.16 (cscu)’= -cscu ctgu u’
T7.14	T5.17
T7.15	T5.19
T7.16	T5.21

T-CI2-102: Integración por sustitución

Del T5.7 mejor conocido como regla de la cadena se desprende la técnica de integración denominada Integración por sustitución que implica:

T7.17

T-CI2-103: Sumas de Riemann

Sea una función f continua en el intervalo [a,b] y una partición P arbitraria del intervalo en n intervalos limitados por los puntos a=x₀, x₁, x₂, x₃, ..., x_n-1, x_n=b con la única condición de que: a=x₀< x₁< x₂< x₃< ...< x_n-1< x_n=b, así al conjunto P={x₀, x₁, x₂, x₃, ..., x_n-1, x_n } lo llamamos partición de [a,b].

P define n subintervalos cerrados determinados por [x₀, x₁],[ x₁, x₂,], ...,[ x_n-1, x_n], en el que la longitud de cada subintervalo será , para los valores adecuados de k=1,2,3,...,n. Si en cada subintervalo se selecciona un punto c_k y se construye un rectángulo con el intervalo como base y de altura f(c_k), se tendrá que el área del rectángulo será . Está selección se muestra en la siguiente figura.

Como se tienen n rectángulos, se suman todas las áreas, si f(c_k)<0 el producto <0; incluyendo esta consideración se suman todos los productos obteniendo: . Esta suma que depende de P y de las selecciones de los c_k, la denominamos Suma de Riemann para f en [a,b].

Si definimos la norma de una partición P, como la longitud del intervalo más largo de la partición y se escribe ||P||.

Definición: La integral definida de una función en un intervalo [a,b] es el número I que satisface la siguiente condición: , para cualesquier elección de números c_k en las subdivisiones de la partición. El número I se representa por y se lee “integral de f de x desde a hasta b”.

Cuando la selección de los c_k de cada intervalo corresponde con el máximo en el intervalo, se dice que se tiene una Suma superior de Riemann y se representa por U_P porque depende la parición. De igual forma, si la selección se hace sobre los mínimos de cada subintervalo, se obtendrá una Suma inferior de Riemann, escrita L_P. En el límite se tendrá que: