Concepto 6: Integrales impropias.

Matemáticas II: Cálculo Integral

M. C. Carlos García Franchini y M. C. Martha Alvarado Arellano

cgfranchini@yahoo.com maraare@yahoo.com

Instituto Tecnológico de Puebla

Concepto 6: Integrales impropias

Sección F-CI6-100

F-CI6-101: ¿Problemas en los límites de la integral?

¡Espera, no me refiero a que no sepas que poner como límites de la integral!, en realidad a veces las integrales nos imponen situaciones en las que los límites de integración no están muy claros, observa por ejemplo la siguiente gráfica:

Fig. 1: Área calculada por Winplot equivalente a la integral

¿Está calculada el área bajo la curva de manera correcta? ¿Es esa, el área limitada por las rectas x = –1, x = 4, y = 0 y la función? ¿Qué está ocurriendo en x = 2?

Acción CI6-101: Problemas potenciales en el dominio de la función

Hemos notado que una función definida a trozos en cierto intervalo puede o no contar con su integral, dependiendo de que sus discontinuidades no sean asintóticas, e incluso en esos casos aún podría contar con una integral definida finita.

Una situación diferente se presenta en las asíntotas horizontales. Sabemos que en esta situación la curva se acerca cada vez más a una recta horizontal, de tal manera que si te alejas mucho del origen la curva se confunde realmente con esa recta

Fig. 2: Tendrá sentido intentar escribir una cosa como esta:

Acción CI6-102: Cuando alguno de los límites de una integral no es un número

Son muchas las aplicaciones en las cuales las integrales con límites al infinito se aplican, algunos conceptos están asociados a la física y otros a diferentes aspectos de las matemáticas que en su momento se tendrán que analizar en cursos posteriores.

Aplicación CI6-101: La probabilidad

No toda integral que se plantea con límites al infinito o con problemas en los mismos tiene una solución finita, en realidad nos interesan principalmente aquellos resultados que son finitos, pero tendremos que aprender a rechazar aquellas situaciones que crecen sin límite.

Acción CI6-103: Integrales convergentes y divergentes

Dentro de las aplicaciones previstas se encuentra el criterio de la integral previsto en tus cursos de Series infinitas, veámoslo de cerca:

Aplicación CI6-102: Convergencia de series

Las integrales impropias no son realmente una nueva forma de integrales, sino una extensión natural a las propiedades de la integral y un replanteamiento de nuestro concepto de área bajo la curva.

Teoría T-CI6-100