Concepto 1: Diferenciales

Matemáticas II: Cálculo Integral

M. C. Carlos García Franchini y M. C. Martha Alvarado Arellano

cgfranchini@yahoo.com maraare@yahoo.com

Instituto Tecnológico de Puebla

Concepto 1: Diferenciales

Sección F-CI1-100

¿Qué tan grande puede ser una variación antes de que la percibas?

F-CI1-101: Las pequeñas variaciones

Por experiencia sabemos que las plantas y nosotros mismos crecemos día con día, de otra forma no podríamos explicar porqué si dejamos de ver a una persona durante cierto tiempo, al volverla a encontrar posteriormente la notarás cambiada. Así, por más que fijemos la vista ante una planta no vemos que esta crezca; sin embargo, uno o dos días después posiblemente notaremos que ha cambiado, tiene nuevos retoños o incluso sus flores se han abierto.

Los cambios que sufren muchas de las cosas que nos rodean resultan imperceptibles ante nuestros sentidos si las observamos de manera continua, salvo que hagamos comparaciones entre instantes distantes en el tiempo. Desde luego, que es posible encontrar fenómenos cuya variación es tan grande que aún instantáneamente observamos que sus cambios ocurren.

Por ejemplo, observa las nubes en el cielo, si es un día tranquilo sin viento, verás a las nubes apacibles y aparentemente estacionadas en el fondo azul; por el contrario, posiblemente si es un día de tormenta cambiarán su forma y se desplazarán ante tus ojos “visiblemente”. Entonces es posible imaginar ¿qué tan grande puede ser una variación antes de que la percibas?

No te has preguntado ¿Qué tan pequeña puede ser esa variación?, por que sabemos que podemos imaginar el instante de tiempo tan pequeño como se quiera y decir que es infinitamente pequeña, o en nuestra notación matemática si Δt→0 luego Δx→0, siendo x la variable bajo observación. Pero luego no me refiero a ese límite que en verdad existe, la pregunta fue a la inversa, ya que mucho antes de que Δx alcance su límite al cero hay un momento en que deja de ser perceptible, en ese instante y después de él, dentro del proceso en que Δx→0, hemos alcanzado el diferencial escrito dx.

El diferencial es el concepto matemático asociado a la idea de que:

Observa que para propósitos prácticos con x + dx sigues ¡estando en x! el movimiento desde x es imperceptible; sin embargo, si sigues acumulando más “dx” llega un momento en que estás en un nuevo lugar, ¡ahora estás en x + Δx!

Acción CI1-101: Diferenciales en acción

Aplicación CI1-101: Aquí están los diferenciales

Teoría T-CI1-100

Sección F-CI1-200

F-CI1-201: ¿Incremento y diferencial es lo mismo?

De la sección previa hemos obtenido un acercamiento a los diferenciales y a los incrementos de una variable independiente, pero en la mayoría de los fenómenos que ocurren en nuestra vida diaria existen variables dependientes que son resultado de las variaciones en la variable independiente. ¿Qué ocurre en este caso con los diferenciales y los incrementos? ¿Son lo mismo? Ó los diferencia la misma característica que mencionamos en la sección previa, esperamos que eso se aclare en esta sección.

Del análisis en el curso previo de Cálculo Diferencial, concluimos que las funciones pueden ser una forma muy importante de representar modelos de los fenómenos. En particular si el fenómeno bajo estudio puede ser modelado mediante una función entre dos variables, tendremos que se satisface una relación entre las variables independiente y dependiente de la forma y = f(x). Dicha función tiene evidentemente una gráfica que la representa y por otro lado se ha definido a la derivada como el cociente entre dos incrementos llevados al límite, recordemos tal definición:

Ahora veámosla gráficamente:

Figura 1: Diferenciales e incrementos.

Observa con cuidado la figura 1, mientras que Δx→0 y alcanza su valor imperceptible dx, se determina la relación f ’(x) = dy/dx. Sin embargo, la curva que representa el fenómeno se sigue recorriendo y en cierto momento cuando se tiene x + Δx, la función se encuentra en y + Δy. Por otro lado como el triángulo que determina la derivada ya se definió y resulta inamovible se tiene que define un cateto vertical de magnitud dy diferente de Δy. Luego en lo general dy ≠ Δy y únicamente son iguales en el límite, estrictamente cuando se satisface Δx→0. Observe que de la figura se tiene la relación exacta y + Δy = f(x + Δx). ¿Qué pasa si despejamos dy en la igualdad ya citada f ’(x)= dy/dx?