Aplicación CI5-102: Centroides.

Matemáticas II: Cálculo Integral

M. C. Carlos García Franchini y M. C. Martha Alvarado Arellano

cgfranchini@yahoo.com maraare@yahoo.com

Instituto Tecnológico de Puebla

Concepto 5: Aplicaciones de la Integral

Aplicación CI5-102: Centroides

Debido al principio físico de la palanca, se define el momento o torque t de una fuerza respecto de un punto, como el producto de la magnitud de la fuerza y la distancia de la fuerza al punto, t = Fs. Por otro lado, si consideras una placa plana de cualquier material y la cortaras en pequeños rectángulos de masa dm, cada uno de ellos respecto de un eje elegido provocará un pequeño momento dt = sdm, de donde el momento total será , en donde se indica que la integral se realiza sobre toda el área. En particular si los ejes seleccionados son el x o el y, y además el material de la placa es homogéneo, la masa es proporcional al área y los momentos se puedes expresar en función de las coordenadas y y x respectivamente. Así el momento total sobre el eje x e y son respectivamente:

¿Existirá algún valor de x en el que se pueda concentrar toda la masa de la placa y provoque el mismo momento total? ¿Se podrá dar una condición similar en y?

Supóngase que esos valores existen y son:

O finalmente:

Estas coordenadas encontradas definen el centroide de la superficie o centro de gravedad de la placa.

· ¿Son estas definiciones, aplicaciones especiales del valor medio para integrales? ¿Por qué?

o ¿Quieres ver físicamente el centroide o centro de gravedad de una figura plana?

Realiza el siguiente proceso:

1. Recorta la figura deseada en un cartón suficientemente grueso para que no se doble.

2. Con una aguja pasa un hilo cerca de la orilla de la figura y amárralo.

3. Sostén el hilo y deja que la figura cuelgue libremente del hilo. Con una regla prolonga la recta “definida por el hilo” y trázala sobre el cartón.

4. Repite el mismo proceso con otro punto que no esté sobre la recta trazada.

5. Las rectas trazadas se cortan en un punto... ese punto es el centroide, para probarlo sostén la figura con la punta de un lápiz ubicada en ese punto, si lo hiciste correctamente el cartón se mantendrá en equilibrio horizontalmente. ¿Por qué?

6. ¿Por qué se puede encontrar el centroide de la forma descrita? ¿En dónde quedaron las integrales?

¿En dónde está el centro de gravedad de una escoba de tal forma que apoyada en ese punto se equilibre horizontalmente? Ponla encima de un dedo de cada mano apoyada en los extremos del palo de la escoba, muévelos rápidamente hacia el centro del palo ¡no se va a caer! Cuando juntes tus manos ¡ahí está el centro de gravedad! ¿Por qué funciona esto? ¿En donde están las integrales?

Comenta tus hallazgos con tus compañeros y si tienes dudas apóyate en tu facilitador.

Productos que serán entregados:

a) Puesto que corresponde a la vista de los conceptos bajo estudio en acción, esta es una actividad para meditar y comentar con tus compañeros y facilitador. No se espera la entrega de un producto, pero en caso de que desees realizar un producto será un archivo con tus comentarios, dudas y con la respuesta a cada uno de los cuestionamientos planteados.

Los productos opcionales serán integrados en un archivo único que será subido a la plataforma o enviado por e-mail a tu facilitador. El nombre del archivo será: AplicacionCI5102apellidonombre.

Criterios de calidad:

i. Claridad y congruencia en la redacción.

ii. Respuesta a todos y cada uno de los cuestionamientos.

iii. En ningún caso es considerada como correcta una respuesta simple del tipo “no, sí, nunca, siempre, etc.”.

iv. Manifestación de las propias ideas y en caso de definiciones de textos, cita de las fuentes.

v. Originalidad.

vi. Uso de dibujos, animaciones, esquemas o mapas conceptuales para clarificar las ideas.

Cualquier comentario o discusión se puede realizar con tus compañeros o con tu facilitador por medio de los recursos de la plataforma en uso.

Revisa el Calendario que se te hizo llegar al inscribirte en el curso, para ver los tiempos en que se habrán de reportar los productos de esta actividad.