Aplicación CI1-102: ¿Cómo uso los diferenciales?

Matemáticas II: Cálculo Integral

M. C. Carlos García Franchini y M. C. Martha Alvarado Arellano

cgfranchini@yahoo.com maraare@yahoo.com

Instituto Tecnológico de Puebla

Concepto 1: Diferenciales

Aplicación CI1-102: Aquí están los diferenciales

Observa las siguientes fotografías, todas ellas tiene al menos una característica en común:

Entre otras características las situaciones presentadas están asociadas a problemas de volumen, en cada uno de los casos en mayor o menor grado conocer el volumen exacto que puede contener el objeto resulta muy importante, en lo general los objetos presentados presentan formas cuyo volumen es relativamente fácil de calcular. ¿Qué pasa si alguna de las dimensiones nominales del objeto varía un poco de su valor? ¿Cómo cambia el volumen contenido debido a ese error?

Por ejemplo supóngase que el objeto es un cilindro, su volumen está determinado por V = π r²h, donde r es el radio y h su altura. Si se tiene un cilindro de radio y altura nominales de 50 cm y 120 cm respectivamente ¿Cuánto varía aproximadamente su volumen si su radio es realmente de 50.5 cm?

Desde luego que eso se puede calcular de manera adecuada calculando ambos volúmenes y encontrando su diferencia, que en este caso resulta ser de 961421.5998 – 942477.7961 = 18943.8037 cm³; sin embargo, existe otra forma de aproximar rápido el resultado que resulta bastante simple en aquellos casos en que no es posible calcular mediante alguna fórmula como en el caso previo.

Considérese la fórmula de cálculo de volumen presentada V = π r²h, ahora derivemos respecto de r puesto que es la variable que no ha resultado exacta, tendremos dV/dr = 2π rh, o bien dV = 2π rhdr , luego ya que los diferenciales corresponden con pequeños incrementos, se debe de cumplir ΔV ≈ 2π rhΔr = 2π(50)120(0.5) = 18849.5559 cm³, que resulta se una muy buena aproximación y que en particular nos muestra que un pequeño error de construcción implica grandes consecuencias en el volumen total.

Podemos imaginar y calcular las implicaciones de algún error de medidas “menor” en cada uno de los casos que se presentan, claro que puede que no sean tan críticos, pero: ¿puedes proponer algún caso en el cual un error “menor” de construcción respecto de las especificaciones tenga consecuencias graves?

Explica en cada caso que implicación tienen los diferenciales respecto del objeto que se presenta en la fotografía.

En estos y muchos casos los diferenciales son una forma rápida del cálculo de esas variaciones.

Productos que serán entregados:

a) Puesto que corresponde a la vista de los conceptos bajo estudio en acción, esta es una actividad para meditar y comentar con tus compañeros y facilitador. No se espera la entrega de un producto, pero en caso de que desees realizar un producto será un archivo con tus comentarios, dudas y con la respuesta a cada uno de los cuestionamientos planteados.

Los productos opcionales serán integrados en un archivo único que será subido a la plataforma o enviado por e-mail a tu facilitador. El nombre del archivo será: AplicacionCI1102apellidonombre.

Criterios de calidad:

i. Claridad y congruencia en la redacción.

ii. Respuesta a todos y cada uno de los cuestionamientos.

iii. En ningún caso es considerada como correcta una respuesta simple del tipo “no, sí, nunca, siempre, etc.”.

iv. Manifestación de las propias ideas y en caso de definiciones de textos, cita de las fuentes.

v. Originalidad.

vi. Uso de dibujos, animaciones, esquemas o mapas conceptuales para clarificar las ideas.

Cualquier comentario o discusión se puede realizar con tus compañeros o con tu facilitador por medio de los recursos de la plataforma en uso.

Revisa el Calendario que se te hizo llegar al inscribirte en el curso, para ver los tiempos en que se habrán de reportar los productos de esta actividad.