Acción CI5-104:Superficies y sólidos de Revolución.

Matemáticas II: Cálculo Integral

M. C. Carlos García Franchini y M. C. Martha Alvarado Arellano

cgfranchini@yahoo.com maraare@yahoo.com

Instituto Tecnológico de Puebla

Concepto 5: Aplicaciones de la Integral

Acción CI5-104: Superficies y sólidos de Revolución

Una superficie de revolución se genera cuando una curva se hace girar alrededor de un eje. En las dos figuras que se anexan se observa la curva que se ha hecho girar y las superficie que se genera, en este caso girando sobre el eje y. Si esa curva delimita un área bajo o sobre ella –dependiendo de cómo se haga girar– entonces al girar esa superficie se obtiene un sólido o volumen de revolución.

Cuadro de texto:
En las figuras 1 y 3 se observan las superficies de revolución generadas, mientras que en las 2 y 4 que acompañan a las superficies, se ven las curvas y el área considerada para la generación de los sólidos de revolución.

Cuadro de texto:

Una esfera, una copa, una dona, algunas lámparas, muchas piezas mecánicas hechas en “torno”, entre otros, son sólidos de revolución.

¿Quieres ver más sólidos de revolución?

· Toma un alambre recto de unos 30 cm, suficientemente grueso para que no se te doble.

· Dobla un pedazo de cartulina a la mitad y mete el alambre exactamente sobre el doblez, de tal forma que sobresalgan una de sus puntas aproximadamente 10 cm.

· Pega las dos partes de la cartulina de tal forma que el alambre quede atrapado en el doblez.

· Recorta la curva que quieras sobre la cartulina, de tal forma que no se desprenda el alambre.

· Tendrás algo así:

· Gira entre tus manos rápidamente la figura obtenida... debido a la rapidez verás el sólido de revolución generado.

El volumen de un sólido de revolución se puede calcular de alguna de las dos siguientes formas dependiendo de las características de la superficie y del eje sobre el que se gire.

1. La figura 5 permite ver que al girar un pequeño rectángulo representativo sobre el eje y lo que se formará por éste es un “disco”. ¿Estás de acuerdo?

2. En el segundo caso, identificado por la figura 6, al girar el pequeño elemento rectangular sobre el eje y se formará “un tubo” o cilindro hueco. ¿Es lo correcto?

Si las características del problema son del “método del disco” considera el siguiente análisis:

1. ¿Cuál es el radio del disco? y ¿Cuál su espesor?

2. El volumen del pequeño disco que se forma y el volumen total son:

3. Selecciona a y b de manera adecuada y listo, a resolver.

4. Calcula el volumen generado en la figura 1.

Si las características del problema te piden el método del cilindro se analiza de la siguiente manera:

1. ¿Cuál es el espesor del tubo? y ¿cuál su altura?

2. ¿Cómo el cilindro está muy delgadito, se puede extender como una hoja de papel y formará un rectángulo. ¿Cuáles son las dimensiones de ese rectángulo?

3. ¡En efecto el rectángulo tiene alto f(x) y su ancho es el perímetro de un círculo de diámetro 2x! El espesor de la lámina es dx.

4. La hoja tiene un volumen , de donde seleccionando adecuadamente los extremos el volumen total será:

5. Calcula el volumen generado en la figura 3.

· ¿Qué método te gustó más y por qué?

· ¿Cambiará en algo el proceso si se gira sobre el eje x? Expresa las relaciones resultantes en ese caso.

· ¿Si la superficie que gira “no toca” ningún eje, se forma un sólido de revolución al girar sobre alguno de ellos? Da ejemplos.

Comenta tus hallazgos con tus compañeros y si tienes dudas apóyate en tu facilitador.

Productos que serán entregados:

a) Respuesta a los cuestionamientos planteados a lo largo de este texto y desarrolla el experimento indicado para generar la superficie de revolución, muestra evidencia en tu reporte.

Discute los diferentes cuestionamientos planteados con tus compañeros y con tu facilitador; y envía tu análisis y conclusiones a tu facilitador en un archivo Word de nombre AccionCI5104apellidonombre.

Criterios de calidad:

i. Claridad y congruencia en la redacción.

ii. Respuesta a todos y cada uno de los cuestionamientos.

iii. En ningún caso es considerada como correcta una respuesta simple del tipo “no, sí, nunca, siempre, etc.”.

iv. Manifestación de las propias ideas y en caso de definiciones de textos, cita de las fuentes.

v. Originalidad.

vi. Uso de dibujos, animaciones, esquemas o mapas conceptuales para clarificar las ideas.

Cualquier comentario o discusión se puede realizar con tus compañeros o con tu facilitador por medio de los recursos de la plataforma en uso.

Revisa el Calendario que se te hizo llegar al inscribirte en el curso, para ver los tiempos en que se habrán de reportar los productos de esta actividad.