Acción CI3-101: El Proceso de la Antiderivada.

Matemáticas II: Cálculo Integral

M. C. Carlos García Franchini y M. C. Martha Alvarado Arellano

cgfranchini@yahoo.com maraare@yahoo.com

Instituto Tecnológico de Puebla

Concepto 3: Métodos de Integración

Acción CI3-101: El proceso de la Antiderivada

La forma más elemental de obtener antiderivadas es aplicar de manera inversa los teoremas de derivadas, tal y como se mostró en la Acción CI2-102. Sin embargo debido al constante uso de las tablas, en la mayoría de los textos se incluye una tabla que muestra los teoremas básicos de antiderivadas, consigue una y tenla contigo te será muy útil.

Una de las expresiones más simple y a la vez muy útil es la llamada uⁿ, ya que según la tabla de derivadas (uⁿ)’ = nu^n-1u’.

· ¿Por qué la antiderivada presenta ?

· ¿Cómo se vería la antiderivada si el teorema se hubiera presentado así:

· ¿Cuál de las dos formas es más común de encontrar en las expresiones?

Encontrar una antiderivada es un proceso ordenado en el cual lo más importante es verificar que todos los elementos de la estructura estén presentes e identificar cual será la elección más adecuada de u, para eso se te sugiere el siguiente esquema:

1. Detecta si existen simplificaciones algebraicas que generen un integrando más simple.

2. Si existen sumas o restas como expresión central separa el integrando en varias integrales. Recuerda sólo sumas y restas. Si hay alguna constante multiplicando a todo el integrando “escríbela fuera de la integral”.

3. Analiza la estructura del integrando y busca en los teoremas aquel que más se le parezca. Si tiene cocientes busca cocientes, si tiene radicales buscas radicales, etc.

4. No te dejes apantallar por la aparente complejidad, seleccionado una u adecuada, pueden ocurrir simplificaciones importantes. Selecciona la parte del integrando que consideras es “u, n, a” o cualquier otra componente que la estructura requiera.

5. El paso más delicado es probar que “du” está completo, puedes adivinarlo en muchos casos, pero se cuidadoso aquí es donde la mayoría se resbala... Si seleccionaste una expresión g(x) como u, como normalmente la integral por resolver tiene dx, derívala y tendrás .

6. Sustituye la g(x) elegida por u, y dx por la expresión obtenida, simplifica lo que resulte necesario y escribe fuera de la integral las constantes que multipliquen a todo el integrando... la integral obtenida en este punto debe ser exactamente igual a la de tu “tabla de integrales” excepto por las constantes que están fuera. Si no es así no elegiste adecuadamente a u, o la “fórmula” no es la adecuada y tendrás que seleccionar nuevamente. A veces el proceso es de prueba y error mientras se adquiere experiencia.

7. Si las estructuras fueron iguales en el paso previo, la integral está resuelta así que simplemente escribe el resultado.

8. Ahora regresa el resultado a las variables originales, sustituyendo las u que encuentres por la g(x) seleccionada, simplifica si es necesario y no olvides colocar la “constante de integración”.

Verifica la secuencia con el siguiente ejemplo:

Resolver:

1. Aparentemente no hay simplificaciones.

2. Hay una constante que multiplica a todo el integrando, se saca:

3. Es un cociente pero el cuadrado del denominador invita a rescribir así: y aquí se podrá considerar una forma uⁿ... vayamos por ese rumbo.

4. Si uⁿ es la estructura elegida n=-2, y .

5. Derivando

6. Sustituyendo todo lo encontrado se tiene: , la expresión es idéntica –salvo las constantes–.

7. Así que el resultado es

8. Finalmente y , que es el resultado encontrado con éxito.

Discute con tus compañeros sobre cada uno de los pasos de la resolución en al menos tres ejercicios.

Comparte tus hallazgos con tus compañeros y si tienes dudas apóyate en tu facilitador.

Productos que serán entregados:

a) Un archivo con las respuestas y conclusiones de los cuestionamientos planteados, así como la lista enumerada de los pasos de resolución en al menos tres ejercicios.

Discute las situaciones planteadas con tus compañeros y con tu facilitador; y envía tu análisis y conclusiones a tu facilitador en un archivo Word de nombre AccionCI3101apellidonombre.

Criterios de calidad:

i. Claridad y congruencia en la redacción.

ii. Respuesta a todos y cada uno de los cuestionamientos.

iii. En ningún caso es considerada como correcta una respuesta simple del tipo “no, sí, nunca, siempre, etc.”.

iv. Manifestación de las propias ideas y en caso de definiciones de textos, cita de las fuentes.

v. Originalidad.

vi. Uso de dibujos, animaciones, esquemas o mapas conceptuales para clarificar las ideas.

Cualquier comentario o discusión se puede realizar con tus compañeros o con tu facilitador por medio de los recursos de la plataforma en uso.

Revisa el Calendario que se te hizo llegar al inscribirte en el curso, para ver los tiempos en que se habrán de reportar los productos de esta actividad.