Acción CI2-103: El Área bajo la curva.

Matemáticas II: Cálculo Integral

M. C. Carlos García Franchini y M. C. Martha Alvarado Arellano

cgfranchini@yahoo.com maraare@yahoo.com

Instituto Tecnológico de Puebla

Concepto 2: Integral Indefinida

Acción CI2-103: El Área bajo la curva

Partiendo del método de exhausión es posible – empleando rectángulos – aproximar cualquier área. Llamemos área bajo la curva en un intervalo [a,b] a la superficie limitada por la curva, el eje x y las rectas x =a, x = b.

1. Traza una curva cualquiera (por arriba del eje x) y dos rectas verticales identificadas por a y b.

2. Cuadro de texto:
Traza tantas rectas verticales como quieras entre a y b. Entre cada dos rectas se ha limitado una pequeña superficie que está cerrada por abajo con el eje x y arriba por la función. Traza una recta horizontal aproximadamente en el mínimo del pequeño segmento de la curva entre cada dos rectas, habrás formado una serie de rectángulos posiblemente como la figura 1.

3. ¿Es la figura 1 una aproximación al área bajo la curva? ¿La aproximación se hace por exceso o por defecto?

4. ¿Cómo puedes mejorar la exactitud de la aproximación al área bajo la curva?

5. Traza nuevamente la figura, pero ahora la recta horizontal superior dibújala aproximadamente en el máximo del pequeño segmento de curva. Habrás obtenido una figura similar a la 2 que se presenta.

6. ¿Es la figura 2 una aproximación al área bajo la curva? ¿Esa aproximación se hace por exceso o por defecto?

7. ¿Se podrá decir que el área bajo la curva es mayor que la limitada por los rectángulos de la Figura 1, pero menor que los de la figura 2? ¿Por qué?

Cuadro de texto:

8. ¿Se puede mejorar la exactitud de la aproximación al área bajo la curva mediante la forma empleada en la figura 2? ¿Es la misma propuesta que hiciste en el cuestionamiento 4? ¿Por qué?

9. Sin duda tu respuesta al cuestionamiento 4 fue que se hagan más rectángulos ¿cierto? Y es también la respuesta para el cuestionamiento 8 ¿cierto? Pero hay una segunda parte muy importante: sí se deben de hacer más rectángulos, pero asegurando que la longitud de sus bases también se haga cada vez más pequeña simultáneamente. Porque de nada valdría que hagas más rectángulos si por ejemplo el 6º rectángulo sigue igual de ancho ¿o no? Si n es el número de rectángulos considerados y P es la dimensión de la base del rectángulo más ancho considerado: ¿qué efecto tiene sobre los dibujos que simultáneamente y ?

10. Llama A al área exacta bajo la curva entre a y b; S_i(n,P) (Suma inferior) a la aproximación calculada mediante la figura 1; y S_s(n,P) (Suma superior) a la aproximación calculada mediante la figura 2. ¿Es verdadera la siguiente afirmación ? ¿Por qué se colocó la igualdad?

11. ¿Qué crees que ocurra si se calcula ? ¿Qué significa esto?

12. Al proceso indicado en el cuestionamiento 11 tiene un final feliz y se denomina integral definida entre a y b, y se afirma que:

¿Qué significa esta igualdad? ¿A qué se está llamando exactamente integral definida?

Productos que serán entregados:

a) Un archivo con las respuestas y conclusiones de los cuestionamientos planteados.

Discute las situaciones planteadas con tus compañeros y con tu facilitador; y envía tu análisis y conclusiones a tu facilitador en un archivo Word de nombre AccionCI2103apellidonombre.

Criterios de calidad:

i. Claridad y congruencia en la redacción.

ii. Respuesta a todos y cada uno de los cuestionamientos.

iii. En ningún caso es considerada como correcta una respuesta simple del tipo “no, sí, nunca, siempre, etc.”.

iv. Manifestación de las propias ideas y en caso de definiciones de textos, cita de las fuentes.

v. Originalidad.

vi. Uso de dibujos, animaciones, esquemas o mapas conceptuales para clarificar las ideas.

Cualquier comentario o discusión se puede realizar con tus compañeros o con tu facilitador por medio de los recursos de la plataforma en uso.

Revisa el Calendario que se te hizo llegar al inscribirte en el curso, para ver los tiempos en que se habrán de reportar los productos de esta actividad.