Acción CI2-102: Antiderivada

Matemáticas II: Cálculo Integral

M. C. Carlos García Franchini y M. C. Martha Alvarado Arellano

cgfranchini@yahoo.com maraare@yahoo.com

Instituto Tecnológico de Puebla

Concepto 2: Integral Indefinida

Acción CI2-102: Antiderivada

Ya has analizado la derivación mediante procedimientos algebraicos y empleaste tablas de “derivadas” como la que aquí se muestra:

Cuadro de texto:
Así por ejemplo si se te daba la expresión f(x) = 5x² aplicaste las expresiones 1. y 6. para obtener f’(x) = 10x obviamente por la propia notación llamamos a 10x la derivada de 5x² y a la inversa llamaremos a 5x² la antiderivada de 10x. De esta forma una tabla de derivadas se puede entender también como una tabla de antiderivadas. Por ejemplo, en la expresión 12. se expresa: –(sen(u))u’ como la derivada de cos(u) de donde cos(u) será la antiderivada de –(sen(u))u’ .

Pero tenemos una dificultad debido a la expresión 5. de la tabla, ya que ésta señala que (c)’ = 0, de donde para 5x²+3 ó en general para 5x²+c se tiene la misma derivada 10x; ahora ¿cuál es entonces la antiderivada de 10x? ¡La respuesta es que tiene muchas antiderivadas, pero que se pueden resumir como una familia, ya que únicamente difieren en la constante que las acompaña y su forma general es 5x²+c!

La antiderivada es tan importante que se utilizará una notación especial para ella, observa la forma general de las expresiones en la tabla, se puedes expresar así: ésta es una relación entre diferenciales de donde para recuperar la antiderivada solamente nos falta decir cómo retirar la “d” y eso lo definiremos así: es decir para indicar la antiderivada se emplea el símbolo:

También lo llamamos “integral indefinida respecto de x”. Observe que es un símbolo que tiene dos componentes que no se pueden separar y “antiderivan lo que está entre ellos”.

Retomando las expresiones de la tabla podremos expresar, por ejemplo a la expresión 18. como antiderivada así: en donde a la “c” la llamamos de manera general “constante de integración”. De esta expresión se puede extraer que la siguiente igualdad es verdadera , ya que si se hace u = x³ se sigue que u²= x⁶ y además u’ = 3x² ¿estás de acuerdo?

Por eso para encontrar antiderivadas o integrales indefinidas se debe de buscar qué estructura de la tabla se cumple y ver si tiene todos los elementos que pide la expresión, tratando de recuperar aquellos que se pudieron haber eliminado mediante “simplificaciones algebraicas”.

Escribe las expresiones 6. a 22. como antiderivadas.

Muchos textos presentan “tablas de fórmulas de integración”, compáralas con tus resultados del cuestionamiento previo ¿hay diferencias?, ¿no encontraste alguna? ¿existen muchas más en las tablas? ¿por qué crees que ocurre lo que has detectado?

En particular la expresión 6. normalmente se muestra diferente, analiza con mucho cuidado y explica si existe una equivalencia dentro de ambas tablas.

Aplica tus conclusiones de la pregunta previa para resolver

Recuerda que siempre existe una forma muy simple de verificar si has resuelto correctamente una antiderivada... simplemente derívala y ¿qué vas a encontrar como resultado? ... No lo olvides, ya que te será muy útil.

Productos que serán entregados:

a) Un archivo con las respuestas y conclusiones de los cuestionamientos planteados.

Discute las situaciones planteadas con tus compañeros y con tu facilitador; y envía tu análisis y conclusiones a tu facilitador en un archivo Word de nombre AccionCI2102apellidonombre.

Criterios de calidad:

i. Claridad y congruencia en la redacción.

ii. Respuesta a todos y cada uno de los cuestionamientos.

iii. En ningún caso es considerada como correcta una respuesta simple del tipo “no, sí, nunca, siempre, etc.”.

iv. Manifestación de las propias ideas y en caso de definiciones de textos, cita de las fuentes.

v. Originalidad.

vi. Uso de dibujos, animaciones, esquemas o mapas conceptuales para clarificar las ideas.

Cualquier comentario o discusión se puede realizar con tus compañeros o con tu facilitador por medio de los recursos de la plataforma en uso.

Revisa el Calendario que se te hizo llegar al inscribirte en el curso, para ver los tiempos en que se habrán de reportar los productos de esta actividad.