Acción CI2-101: El proceso de Exhausión

Matemáticas II: Cálculo Integral

M. C. Carlos García Franchini y M. C. Martha Alvarado Arellano

cgfranchini@yahoo.com maraare@yahoo.com

Instituto Tecnológico de Puebla

Concepto 2: Integral Indefinida

Acción CI2-101: El proceso de Exhausión

Los objetos físicos poseen cualidades dimensionales en términos del espacio que ocupan, en una primera dimensión tienen longitudes, área en una segunda y volumen en la tercera dimensión. Sin importar su forma estas cualidades mensurables permiten cuantificar sus propiedades dimensionales, por eso desde la antigüedad le preocupó al hombre medirlas. Para la longitud, los números reales positivos permiten tener una forma de medida. En el caso del área la consideramos una medida compuesta y delimitada entre figuras geométricas cerradas que poseen un interior, para lo cual la geometría aporta su herramental y esto ocurre de igual forma para el volumen.

Pero ¿cómo calcular el área de figuras no perfectas como las planteadas de manera ideal por la geometría?

Cuadro de texto: Esta pregunta fue planteada en la antigüedad por lo griegos y se comenzaron a emplear métodos exhaustivos, entendiendo que con ellos siempre se podía aproximar el área deseada e incluso en ocasiones se podía calcular exactamente cuando la superficie se podía cubrir totalmente por figuras geométricas cuya área se puede conocer exactamente –comúnmente cuadrados, rectángulos y sobre todo triángulos.

En la figura se observa una forma irregular en un proceso de exhausión mediante triángulos, que como se observa al sumarlos van aproximando el área poco a poco y estos triángulos tienen una forma fácil de calcular su área.

El proceso de exhausión se afina cuando se logra encontrar una propiedad común entre las figuras geométricas, como cuadrados del mismo tamaño, rectángulos de ancho o alto fijo, triángulos semejantes, etc.

Toma una hoja de papel cuadriculado y traza sobre ella una forma irregular cerrada. ¿Cuál es la forma más fácil de calcular aproximadamente su área?

Observa que te puedes aproximar al área de dos maneras: por exceso y por defecto. El exceso corresponde a tomar los cuadros que contienen aunque sea un pedacito de la superficie, mientras que por defecto sólo tomas los cuadritos que están totalmente llenos por la superficie buscada. ¿Tomar el promedio entre ambos aproximará mejor al área?

El papel cuadriculado que usaste ¿qué dimensiones tenía? Recuerda que hay cuadro chico (5 mm) y cuadro grande (7 mm), o más finamente papel milimétrico (1 mm). Si quisieras calcular el área lo más exacto posible ¿cuál emplearías y por qué?

¿Reducir el tamaño de las figuras del proceso de exhausión mejora la exactitud del cálculo del área?

¿Quién inventó el método de exhausión y que resultados obtuvo? ¿Cuándo lo hizo?

Si tienes una figura de área A y otra de área B, y las juntas sin empalmarlas: ¿cuál será el área total de la nueva figura que surge al juntarlas?

Si tienes una figura de área A y le haces un “hoyo” de área B: ¿Cuál será el área de la nueva figura?

Si tienes 20 figuras de área A cada una y las juntas sin empalmarlas: ¿Cuál será el área total de la nueva figura que surge al juntarlas?

Si tienes dos figuras de área A y B respectivamente y las juntas ¡pero una parte de ambas se empalma! ¿qué puedes decir del área de la nueva figura?

¿Cómo podrás resumir las propiedades del área descritas en las últimas 4 preguntas?

¿Crees que existan áreas negativas? Discute con tus compañeros este punto.

¿Reconoces en el método de exhausión por exceso y por defecto procesos de cálculo de límites? ¿Por qué?

Productos que serán entregados:

a) Un archivo con las respuestas y conclusiones de los cuestionamientos planteados.

Discute las situaciones planteadas con tus compañeros y con tu facilitador; y envía tu análisis y conclusiones a tu facilitador en un archivo Word de nombre AccionCI2101apellidonombre.

Criterios de calidad:

i. Claridad y congruencia en la redacción.

ii. Respuesta a todos y cada uno de los cuestionamientos.

iii. En ningún caso es considerada como correcta una respuesta simple del tipo “no, sí, nunca, siempre, etc.”.

iv. Manifestación de las propias ideas y en caso de definiciones de textos, cita de las fuentes.

v. Originalidad.

vi. Uso de dibujos, animaciones, esquemas o mapas conceptuales para clarificar las ideas.

Cualquier comentario o discusión se puede realizar con tus compañeros o con tu facilitador por medio de los recursos de la plataforma en uso.

Revisa el Calendario que se te hizo llegar al inscribirte en el curso, para ver los tiempos en que se habrán de reportar los productos de esta actividad.